Statystyka matematyczna, zajmuje się badaniem matematycznych metod znajdujących zastosowanie w statystyce. Niezmiernie ważnym zagadnieniem dla praktyki jest wnioskowanie o badanej zbiorowości statystycznej na podstawie informacji uzyskanych z próby, czyli wybranej w odpowiedni sposób części zbiorowości. Jeżeli o wyborze próby decyduje taki mechanizm losowy, przy którym znane Jest prawdopodobieństwo wylosowania do próby jakiegokolwiek elementu zbiorowości lub dowolnej grupy elementów, próbę nazywa się losową. Jedną z dziedzin s.m. jest badanie własności prób losowych, m. In. badanie rozkładów statystyk, czyli wyrażeń liczbowych, których wartości oblicza się z danych z próby. Statystyką jest np. średnia arytmetyczna z próby, wariancja z próby itd. Problem znalezienia rozkładu statystyk jest bardzo ważny w s.m. Znajomość rozkładów ma duże znaczenie praktyczne w badaniach statystycznych, w których operuje się stosunkowo małą liczbą obserwacji. Jeśli znalezienie dokładnego rozkładu statystyki jest trudne, można rozkład taki ustalić przy założeniu, że liczba elementów zbiorowości wchodzących do próby rośnie nieograniczenie. Znajomość takich rozkładów, tzn. granicznych rozkładów statystyk, Jest cenna w badaniach statystycznych wykonywanych metodą reprezentacyjną, operujących dużą próbą. S.m. zajmuje się w istocie dwoma podstawowymi typami wnioskowania statystycznego. Pierwszy związany Jest z zagadnieniem estymacji, czyli szacowania parametrów populacji. Powstaje problem wykorzystania danych z wylosowanej próby, aby szacunek był jak najprecyzyjniejszy. Estymacja może być punktowa lub przedziałowa, w pierwszym przypadku posługujemy się odpowiednią statystyką jako estymatorem parametru; szacujemy parametr jako równy wartości tego estymatora, podstawiając dane z wylosowanej próby! W przypadku estymacji przedziałowej oszacowanie polega na wskazaniu przedziału liczbowego, w którym powinien się mieścić szacowany parametr, w tym celu konstruuje się przedział ufności, którego końce są pewnymi statystykami z próby tak dobranymi, aby prawdopodobieństwo, że przedział ten dla konkretnej próby obejmuje szacowany parametr było z góry dane, bliskie jedności. Drugim zagadnieniem, jakim zajmuje się s.m. jest weryfikowanie hipotez statystycznych, tj. przypuszczeń, których słuszność może być sprawdzona za pomocą odpowiednich testów statystycznych. Przykładem hipotezy statystycznej może być przypuszczenie, że dochód z 1 ha powierzchni gruntów ornych jest wyższy w gospodarstwach typu A niż w gospodarstwach typu B. w celu zweryfikowania hipotezy statystycznej pobiera się próbę losową i na podstawie danych z tej próby hipotezę przyjmuje się lub odrzuca. Istnieje oczywiście niebezpieczeństwo przyjęcia hipotezy fałszywej lub odrzucenia hipotezy prawdziwej; w celu zorientowania się, kiedy niebezpieczeństwo takie jest poważne i jak tego uniknąć, zbudowano w s.m. teorię weryfikowania hipotez statystycznych. Opierając się na tej teorii można w praktyce znaleźć odpowiednie postępowanie, które gwarantuje z dużym prawdopodobieństwem, że możliwość pomyłki przy weryfikowaniu hipotezy jest minimalna, a więc można wynik weryfikacji uznać praktycznie za pewny. Statystyczne wnioskowanie na podstawie próby w celu zweryfikowania hipotezy statystycznej czy oszacowania pewnych parametrów zbiorowości ma bardzo często za zadanie dostarczenie informacji służących do podejmowania pewnych decyzji (np. decyzji dotyczącej przyjęcia określonej partii towaru uznanej za odpowiadającą wymaganiom żądanej jakości). Ponieważ podstawą są niepełne informacje uzyskane z próby, decyzje te mogą w części przypadków być mylne, a więc prowadzić do pewnych strat, np. materialnych. W związku z tym badane są w s.m. problemy ustalenia optymalnej reguły (np. reguły minimalizującej przeciętną stratę) określającej, Jaką decyzję należy podjąć w praktyce, w zależności od wyników z próby, jak zaprojektować eksperyment statystyczny itd.
